สถานที่สำคัญที่ทุกคนต้องไปเยี่ยมชมในคอนยา เพราะได้รับการประกาศรับรองให้เป็นมรดกโลกจากองค์การยูเนสโกแห่งสหประชาชาติคือ พิพิธภัณฑ์เมฟลานา (Mevlana Museum) เปิด 09.00 – 18.00 น. เป็นที่ตั้งของสำนักพวกเดอร์วิช (Dervish) มีหน้าที่ในการชักชวนพลเมืองชาวคริสต์ในคาบสมุทรอนาโตเลีย ให้หันมานับถือศาสนาอิสลาม และลดช่องว่างระหว่างราษฏรกับผู้ปกครองชาวเซลจุก

           สำนักแห่งนี้ก่อตั้งในปี 1774 โดยเมฟลานา เจลาเลดดิน รูมี (Mevlana Celaleddin Rumi) ผู้วิเศษในศาสนาอิสลาม เกิดในอัฟกานิสถานเมื่อปี 1750 บิดาเป็นนักปราชญ์เมื่ออายุ 13 ปีได้เดินทางหนีไปยังมองโกเลียเพื่อแสวงหาความสงบ เขียนคำกลอนบรรยายเรื่องราวของพระผู้เป็นเจ้า เขียนหนังสือสวดมนต์ด้วยลายมือเป็นภาษาเปอร์เซีย (ภาษาประจำของราชวงศ์เซลจุก) รวมทั้งเขียนบทกวี เพลงบรรเลงด้วยขลุ่ยที่ทำจากต้นอ้อ (Reed Flute)  ท่วงทำนองไพเราะ สมบูรณ์แบบอย่างยิ่ง ดังล่องลอยไปทั่วจักรวาลพร้อมกับนางผู้เป็นที่รัก

          รูมีเดินทางมายังเมืองคอนยาตามคำเชิญของสุลต่านเซลจุก เพื่อเขียนบทกวีอันลี้ลับเป็นภาษาเปอร์เซีย รับตำแหน่งอาจารย์ทางปรัชญาประจำราชสำนักแห่งกษัตริย์อาเลดดิน เดย์คูบาท (Alaaddin Keykubat) พบกับนักบวชอิสลาม ชื่อ เชมซี เทบริซลิ (Schemsi Tebrizli) ร่วมกันคิดวิธีทำสมาธิโดยการเดินหมุนเป็นวงกลมขณะฟังเสียงขลุ่ยต้นอ้อ ทำนองนุ่มนวลจนถึงรุนแรง

          ก่อนจะเต้นหมุนไปรอบๆ ทางเดียวตลอด 2 ชั่วโมงเต็ม จะต้องอดอาหารมีการเข้าห้องฝึกทรมานร่างกาย ทดสอบก่อนเป็นเวลา 1,100 วัน ผู้ที่มีสมาธิถึงขั้น ตัวจะลอยขึ้นได้เมื่อหมุนไปได้ช่วงเวลาหนึ่ง รูมี สอนให้เชื่อมั่นในเรื่องของความอดทน ความรัก การให้อภัย การเคารพในเสรีภาพของผู้อื่น ความสว่างแห่งปัญญา และยกย่องสนับสนุนครองครัวที่มีผัวเดียวเมียเดียว รูมีถึงแก่กรรมในวันที่ 17 ธันวาคม พ.ศ. 1860 อตาเติร์กสั่งปิดสำนักแห่งนี้ในปี 2468 แต่ในปัจจุบันทุกวันที่ 17 ธันวาคมของทุกปี จะมีงานเทศกาลรำลึกรูมีในสนามกีฬายิมเนเซียมของเมืองคอนยา ผู้ที่นับถือทั้งในและต่างประเทศ จากยุโรป อเมริกา และทั่วโลกได้เดินทางมายังตุรกีเพื่อเข้าร่วมงานเทศกาลนี้ บรรดาผู้ชายเหล่าเดอร์วิชขจะแต่งชึดยาวสีขาวคล้ายกระโปรง สวมหมวกทรงกระบอก มาร่วมกันเต้นรำ เหยียดแขนตรงออกไปทั้งสองข้าง แล้วหมุนตัวไปรอบๆ ทางเดียวตลอด น่าเวียนหัวมาก ต้องชื่นชมในความอดทนอุตสาหะอย่างยิ่ง เพราะหมุนอย่างนี้ตลอด 2 ชั่วโมงโดยไม่หยุดเลย เพราะพวกเขาเชื่อว่าเป็นการชำระจิตใจ โดยเป็นการหวังว่าจะได้พบพระเจ้า แล้วเข้ารวมเป็นหนึ่งเดียวกับพระเจ้าได้จากศรัทธาอันแรงกล้า เหมือนการใช้ชีวิตบนหลังม้า

          อาคารที่มีหอสูงรูปทรงกระบอก ปลายแหลม บุกระเบื้องสีเขียว (สีประจำของราชวงศ์เซลจุก) เห็นเด่นชัด สีสดใสสวยงาม เป็นอาคารที่ภายในเป็นสุสานของเมฟลานา เจดาเลดดิน รูมี สานุศิษย์ บิดาและบุตรชายของเขา หลุมศพของรูมี มีขนาดใหญ่ที่สุด ตกแต่งประดับประดาอย่างวิจิตรพิสดาร บุด้วยกระเบื้องมีหมวกขนาดใหญ่อยู่ทางด้านศรีษะ ซี่งจะหันไปทางทิศที่ตั้งของเมืองเมกกะในซาอุดิอาระเบีย หมวกขนาดใหญ่บนโลงศพนี้เป็นหมวกของนักบวชที่เป็นผู้นำ บริเวณใกล้กันยังมีตู้แสดงชุดผ้าไหมสีขาวของรูมี สร้อยลูกประคำ 990 กล่องมุกบรรจุหนวดของศาสดามุฮัมหมัด ซึ่งจะมองเห็นผู้คนที่เข้ามา จะจูลที่มุมทั้งสี่ของกล่อง  และสูดดมผ้าทั้งสี่มุมอีกด้วย เป็นการเคารพและขอพรจากสิ่งศักดิ์สิทธิ์ที่พวกเขานับถืออย่างยิ่ง

         รวมทั้งมีข้างของเครื่องใช้ เครื่องดนตรี หนังสือ คัมภีร์ในศาสนาต่างๆ และรูปภาพจัดแสดงอยู่ สำหรับผู้ที่มาเที่ยวตุรกี ไม่ควรพลาดชม ภายในสุสานจะต้องสงบ สำรวมห้ามพูดคุย ห้ามถ่ายรูป ต้องถอดหมวก ถอดแว่นดำเป็นการเคารพสถานที่อันศักดิ์สิทธิ์ของชาวตุรกี